複素解析の図を描きます —— 有理関数の位相彩色、ニュートン法の吸引域、マンデルブロ/ジュリア集合の脱出時間、ジューコフスキー翼まわりのポテンシャル流。既存の複素解析 op が閉曲線の上(積分・巻き数・ローラン係数・等角写像)を扱うのに対して、この層は領域の上を扱います。
★この種の図はきれいなので、合っているかを誰も確かめません。 ここでは1 枚ごとに「絵とは独立の真値」を当てて採点します(実測):
cplx_winding_number)に数えさせると、零点 3 で +3、零点 2 極 1 で +1、極 2 で −2。窓の外の零点は数えません(対照群)。z²−1 のニュートン吸引域は2 つの半平面という厳密解。512×512 = 262,144 画素すべてが一致し、未収束は 0。3 次は Cayley が解けなかった側で、同じ格子で境界画素が 1,026 → 13,348(13 倍) —— これが「フラクタルになった」の数値的な意味です。それでも共役対称は厳密(1 画素も外れない)。cplx_cr_residual が 2.06e-04。循環は経路に依らず(外周 −3.0263 / 内周 −3.0263、流束 1.3e-07)、後縁の速度が有限なのはクッタ条件のおかげで、循環を 0 にすると発散します(対照群)。Draw complex analysis as an area rather than a curve: the value field of a rational function, its domain colouring, Newton’s basins, escape time, and potential flow past a Joukowski aerofoil. None of the pictures is judged by eye. The winding of the field is counted by this family’s existing cplx_winding_number (+3, +1, -2 as the zeros and poles say); the hue winding in the rendered image recovers the order of a zero from pixels alone; Cayley’s 1879 theorem gives the degree-2 basins in closed form and all 262,144 pixels agree; the main cardioid and period-2 bulb prove interiority without iterating (zero counterexamples, and honestly only 90.1 % of what actually stays); the flow field is holomorphic so cplx_cr_residual reads 2.06e-04; and the lift exceeds thin-aerofoil theory by exactly the thickness ratio a/b.
向く: 伝達関数の零点・極を絵で見る(制御・信号処理)。等角写像の教材。翼型の初期検討(非粘性・非圧縮の範囲)。反復法の収束域を見る。
向かない: 粘性・剥離・圧縮性は入っていません(ポテンシャル流なので抗力は 0 = ダランベールのパラドックス)。脱出時間は倍精度なので深い拡大には耐えません。ニュートンの吸引域は境界がフラクタルなので、境界近くの 1 画素は格子の細かさで答えが変わります(変わらないのは対称性のほう)。
import fullseye as fs
f = fs.ledger.cplx_rational_field([0.2 + 0.1j, -0.3 + 0.2j], [0.1 - 0.2j])
rgb = fs.ledger.cplx_domain_colour(f) # 位相彩色
# 絵と独立に、同じ場から零点 − 極を数える(= +1)
ring = f[1, 1:-1] # 実際は輪郭を 1 周ぶん並べる
cplx_plane_grid / cplx_rational_field / cplx_domain_colour / cplx_newton_basins / cplx_escape_time / mandelbrot_interior / potential_flow_joukowski / joukowski_circulationpoc_complex_plane_fields