fullseye
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数学の絵は、きれいなので誰も確かめない ―― 定理を門にして描く PoC シリーズ
↑ 腕が 1 → 4 → 16 → 90 → 600 → 4000 本と増えるにつれ絵が正体を現す。どの段でどこまで似るかは描く前に分かる。
図について: この記事が扱う 7 回ぶんの図は、下に全部出してあります(86 枚)。シリーズ外も含めた全 151 回・1165 枚は紙面の計測館に並べてあり、元のファイルはこちらにあります。
この記事について
位相彩色、ニュートンの吸引域、マンデルブロ集合、アポロニウスの円、葉序の螺旋、翼まわりの流れ。数学の図はきれいです。そしてきれいなものは、合っているかを誰も確かめません。
実装が少し間違っていても、出てくる絵はやはりきれいです。色は回るし、境界はフラクタルになるし、円は詰まります。間違いが絵に出ない——これがこの分野を書くときの難所です。
そこで描画コードを足すときの基準を 2 つに絞りました。
(i) 定理が門になるか、(ii) 既存の別の実装が真値になるか。 どちらも満たさないものは書かない。使った式で答え合わせをするのは禁止。
このシリーズは、その基準で作った描画を 1 本ずつ並べます。毎回、絵と一緒に成績表が出ます。コードは fullseye にあり、図はすべてスクリプト自身の出力です。
シリーズの現在地
| 回 | 何を描くか | 門(真値の出どころ) |
|---|---|---|
| 1 | 写真を一本の線にして回る円に描かせる | パーセバルの等式 / 最小全域木という下界 |
| 2 | 複素平面を「面」で見る | 偏角の原理 / Cayley 1879 / 主カージオイドの閉形式 |
| 3 | 定理が絵になる | デカルトの円定理 / ファレイ隣接 / オイラーの公式 / モランの式 |
| 4 | うなりは一つ ―― 干渉縞と印刷のモアレは同じ数学 | 閉形式の固有値 / ベッセルの零点 / 格子式 / モアレ周期の予言 |
| 5 | 絵では確かめられないもの ―― 力学系と極小曲面 | 行列指数関数 / トレース恒等式 / 厳密な分岐点 / H ≡ 0 という定義 |
| 6 | 目が嘘をつく絵を作って、測る側を採点する | リュカの定理 / デカルトの円定理 / div(curl ψ) ≡ 0 / 総量保存 |
| 7 | 測定器のほうを健診する ―― キャリパーが外すのはどこで、なぜか | 生成器が保証する真値 / 残差 rms / 想定幅の宣言 / 端の定義 |
第 1 回: 写真を一本の線にして、回る円に描かせる
手順
写真 → 点描 → 一本の閉じた線 → 等弧長に打ち直し → フーリエ係数 → 回る円で描き直し
写真の濃淡を点の密度に写し(重みつき Lloyd)、全部の点をちょうど 1 回ずつ通って戻る経路を作り(TSP)、等弧長に打ち直して複素フーリエ級数に載せます。閉じた曲線のフーリエ級数は回る腕の足し算なので、そのまま振り子の連鎖になります。
筋は TSP art(Kaplan & Bosch 2005)です。巡回路が閉じていることがフーリエ級数に載る条件なので、この 2 つはもともと噛み合っています。
| 言葉 | かみくだくと |
|---|---|
| 点描(stippling) | 濃いところに点を多く置き、点の密度で階調を表す |
| 重みつき Lloyd | 点を「自分の縄張りの重心」へ繰り返し動かす手続き |
| 最小全域木(MST) | 全部の点を繋ぐ最短の木。閉じた巡回路はこれより短くなれない |
| パーセバルの等式 | 「総エネルギー = 係数の二乗和」。打ち切り誤差を先に計算できる |
門と成績
北斎「神奈川沖浪裏」(202×300 画素)を 9,000 点で描いた実測です。真値に使ったのは下界・対照群・閉形式の 3 種類だけで、特別な道具は要りません。
| 主張 | 実測 | 真値の出どころ | 対照群 |
|---|---|---|---|
| 点の密度が濃淡を追う | 相関 0.9946 | ランプ画像の帯ごとの暗さ | 一様画像では等間隔(cv 0.13 対 0.37) |
| 巡回路の質 | MST 比 1.142 | 閉じた巡回路は MST より短くなれない | 座標順に繋ぐと 41.3 |
| 濃淡の再現 | 相関 0.983 | 目標画像との直接比較 | 同数のランダム線は +0.013 |
| ペン幅 | 0.903 px | インク率 ≈ 線長 × ペン幅 / 面積 | 目標の 0.891 倍、不足 11 % が重なり |
| 円の本数 | K=64 で 99.2 % | パーセバルの等式 | 予言と実測の差 7e-15 px |
| 紙の上 | 15.51 m / 最短 8.6 分 | G-code に変換して測る | ― |
↑ 左が一筆書き(MST の 1.142 倍)、右が同じ点を座標順に繋いだ対照群(41.3 倍)。同じ点でも繋ぎ方でこれだけ違います。
★ 実装すると、ここで間違える
この筋道を自分で書く人が確実に踏む穴が 4 つあります。どれも例外は出ず、絵はそれらしく出るので、テストを書かないと気づけません。
1. 相関が高くても、密度は暗さに比例していない
「点の密度が濃淡を追う」を相関で測ると 0.99 を超えます。しかし相関は単調性しか見ていません。
重みつき Lloyd が作るのは重心ボロノイ分割です。Gersho の予想により、最適な点密度は重み ρ に対し √ρ に比例します(2 次元で ρ^(d/(d+2)))。つまり重みをそのまま渡すと、濃淡の半分しか濃さに出ません。
実際に指数(log 密度 を log 暗さ に回帰した傾き)を測ると 0.61 です。相関 0.9946 と指数 0.61 は矛盾しません——単調ではあるので相関は高く出ます。
濃淡に比例させたいなら、重みを二乗して渡してください。 実測で指数は 0.77 まで上がります(床と有限の点数のぶん、1 には届きません)。
2. フーリエに載せる前に、線が短くなっている
巡回路を等弧長に打ち直して標本の列にするとき、標本間隔が線分より粗いと角が切られ、線そのものが短くなります。載せる前の段階で情報が落ちるので、そのあとの「予言が当たった」は土台から崩れます。
線分が平均 2.07・中央 1.57 px の巡回路で測ると:
| 打ち直し点数 | 標本間隔 | 長さ保持 | 表現できる最短周期 |
|---|---|---|---|
| 16,384 | 1.136 px | 0.934 | 2.27 px |
| 32,768 | 0.568 px | 0.968 | 1.14 px |
| 65,536 | 0.284 px | 0.984 | 0.57 px |
間隔 1.14 px では密な領域を解像できず、線が 6.6 % 縮みます。誤差はきれいに 1/N で落ちるので、標本間隔が線分の中央値を下回るまで増やすのが目安です。
3. 点数が偶数だと、フーリエ係数を二重に数える
複素フーリエ係数を k = −N/2 … +N/2 で取り出すとき、N が偶数だと両端が同じ係数を指します。両方足すとパーセバルの等式が破れます(N=8 で 1.17e-01、N=512 で 7.5e-03)。
厄介なのは、対称性の高い形では気づけないことです。正方形の輪郭で検算すると、最高周波数の係数がたまたま 0 に近いので通ってしまいます。N を 8, 9, 16, 17, 64, 255, 256 と振って、係数の本数とパーセバルの両方を固定してください。
4. ペン幅は調整するものではなく、解くもの
線が重ならない範囲では インク率 ≈ 線長 × ペン幅 / 面積 が成り立つので、目標の濃さからペン幅を逆に解けます。
ただし 2 つ注意があります。ひとつは、線を整数画素の円板で塗るとペン幅が階段になること(0.5 / 1.0 / 1.5 px が同じ絵になります)。被覆率で塗れば連続なノブになります。
もうひとつは、解いた幅でも目標には届かないこと。実測でインク率は目標の 0.891 倍でした。合併は和より小さいので実測は必ず予言以下になり、その差 11 % が線の重なりの量そのものです。ここを誤差と見ずに「重なりの測定値」と読むのが正解です。
向かないこと
墨の線画には向きません。 重心ボロノイは必ず画面全体を埋めるので、暗い画素が数 % しかない絵では点の大半が白地に配られます。鳥獣戯画(暗い画素 5.5 %)で試すと元の絵が読めません。線画は細線化して線そのものを辿るべきで、それは別の道具です。
エッジに沿わせる項は入れませんでした。 試すとエッジ近傍を通る線の割合は 0.421 → 0.530 に上がりますが、濃淡の相関が 0.911 → 0.772、疎密比が 6.5 → 2.4 と両方落ちます。この絵ではエッジが既に暗いので、濃度の対比を上げるほうが両方良くなります(エッジの面積比は 0.235 なので、偶然に線が乗る割合が 0.235。濃淡だけで 0.475 なら既に 2 倍です)。
動かす
pip install -U fullseye
py -3.11 examples/poc_one_stroke_epicycles.py \
--image my_photo.jpg --points 12000 --out out/mine
点の数は「画素数 × 点数」で効きます。まず --points 3000 で形を見てから増やすのが早いです。
import fullseye as fs
img = fs.read_image("photo.png")
pts = fs.ledger.stipple_points_from_image(img, 9000, gamma=1.6) # 濃いところに点
tour = fs.ledger.stroke_tour_closed(pts) # 一本の閉じた線
err = fs.ledger.stroke_tone_error(img, tour) # 何を保ったかを数で
print(err["corr"], err["length_px"])
この回が作った図は全部で 9 枚あります —— 全部見る
この回の残りの図
以下は同じ実行が作った残り 6 枚です。説明は 1 文目だけに切ってあります —— 詳しい読み方は上の主図が持っています。
| *↑ Lloyd’s energy sum w | x-c(x) | ^2 never goes up — that is a property of the algorithm that can be checked exactly, which is why it is the gate rather than the look…* |
↑ the tone of a line drawing exists at a scale coarser than the line, so both pictures are compared after a Gaussian of sigma 6 px: correlation 0.984 against +0.0…
↑ while the strokes do not overlap the ink fraction is length x width / area, so the width that reproduces the mean tone is solved in closed form (0.90 px here)
↑ Parseval makes this a prediction, not a measurement: the squared error of the order-K reconstruction equals the energy of the coefficients above K, exactly
↑ every row is measured by an operator in this run; the harmonic rows are predicted in closed form before the drawing is made
↑ Parseval: the error above is the energy that was left out, exactly
第 2 回: 複素平面を「面」で見る
手順
有理関数 f(z) → 面の上で値を出す → 位相彩色 / 吸引域 / 脱出時間 → 絵とは別の真値で採点
複素解析の可視化は、曲線の上(積分・巻き数・ローラン係数・等角写像)と領域の上(値の場・位相彩色・吸引域)で別の道具が要ります。この回は後者です。
↑ どれも「きれいだから正しい」が効かない絵。採点は全部この絵の外から来る。
門と成績
| 主張 | 測った量 | 実測 | 真値の出どころ |
|---|---|---|---|
| 偏角の原理 | 巻き数 | +3 / +1 / −2 | 既存 cplx_winding_number(窓の外は 0 = 対照群) |
| 位相彩色から位数が読める | 画素の RGB だけから色相の巻き数 | 1 / 2 / 3 / −2 | 偏角の原理 |
z²−1 の吸引域 |
厳密解との一致 | 262,144 画素すべて、未収束 0 | Cayley 1879(2 つの半平面) |
| 3 次の吸引域 | 同じ格子の境界画素 | 1,026 → 13,348(13 倍) | Cayley が解けなかった側 |
| 主カージオイド | 反復せずに内側と言える画素 | 反例 0 件、覆えたのは 90.1 % | 閉形式(下界であることも数で出る) |
| 翼まわりの場 | コーシー–リーマン残差 | 2.06e-04 | 乱数 1.04 / 共役 2.000 が対照群 |
| 循環は経路に依らない | 外周 / 内周 | −3.0263 / −3.0263 | コーシーの積分定理 |
| クッタ条件 | 後縁の速度 | 22.9 → 22,020(循環 0 のとき) | 対照群が発散する |
おまけ: 揚力係数と薄翼理論の比は、迎角にも速さにもよらず厳密に a/b(円の半径と写像の特異点の距離の比)になります。実測のずれ 2.2e-16、厚みを 0 に近づけると薄翼理論に戻ります。厚みの効果が 1 つの数に落ちる、気持ちのよい結果です。
実装で踏む穴
既存 op が壊れて見えたが、壊れていたのは呼び方でした。 cplx_cr_residual が正則な場で 0.95、乱数で 1.04 を返し「判別していない」と結論しかけたところ、docstring に「行は虚部の増える向き」と書いてありました。こちらの格子は画像の並び(行が下向き)なので、op は共役の場を正しく測っていたのです。
規約違反は例外を出しません。もっともらしく別の量を返します。 なので食い違いは罠にせず門にしました —— 「そのまま渡すと 2」と「反転すると ≈ 0」を同じ検査に両方書いてあります。
なお「ちょうど 2」が出るのは中心差分が厳密になる 2 次以下の多項式のときだけで、一般の正則場では 2 から丸めの床の分だけ引かれます(実測 1.999951)。
向かないこと
脱出時間は反復回数の上限で切るので、境界の近くは常に「まだ分からない」が残ります(上限を上げると境界画素が増え続ける)。閉形式の内部判定は下界で、マンデルブロ集合の内部を全部は覆いません(実測 90.1 %)。位相彩色は位数を読めますが、零点の位置は読めません —— そちらは巻き数を数える op の仕事です。
最初の 1 本
import fullseye as fs
z = fs.cplx_plane_grid((-2.0, 1.0), (-1.5, 1.5), (512, 512))
basins = fs.cplx_newton_basins((1.0, 0.0, -1.0), shape=(512, 512)) # z^2 - 1
print("未収束:", int((basins < 0).sum())) # Cayley の厳密解なら 0
この回が作った図は全部で 10 枚あります —— 全部見る
この回の残りの図
以下は同じ実行が作った残り 9 枚です。説明は 1 文目だけに切ってあります —— 詳しい読み方は上の主図が持っています。
↑ 有理関数 (z−z₁)(z−z₂)/(z−p) の位相彩色。
↑ ★絵が定理を証明する側に回る。
↑ 2 次の境界は虚軸 1 本(513 画素の格子で 1026)。
| ↑ ★★右の明るい部分は反復せずに内側と分かる領域 —— 固定点 z = (1−√(1−4c))/2 が吸引的( | 2z* | < 1)なら軌道は決して 脱出しない、という閉形式。* |
| *↑ z → z² + c は | z | を 2 乗するだけなので、c = 0 では「 | z | < 1 は 0 へ、 | z | > 1 は無限へ」が厳密に言える。* |
↑ 迎角 8 度のジューコフスキー翼まわりの非粘性流。
↑ 後縁は写像の特異点(dz/dζ = 0)なので、循環が正しくないと1/√距離 で発散する。
↑ ★CL = 2π(a/b)sin(α+β)。
↑ どの行も「使った式」ではない真値で採点している: 既存 op (cplx_winding_number / cplx_cr_residual)、Cayley の定理、閉形式の内部判定、c=0 のジュリア集合、クッタ条件の対照群、薄翼理論との比。
第 3 回: 定理が絵になる
手順
曲率の四つ組 / ファレイの分母 / 黄金角 / IFS の写像 / 曲線の位数 → 絵
↓
絵を見ずに、定理の側から答え合わせをする
アポロニウスの円、フォードの円、測地ドーム、葉序の螺旋、IFS のアトラクタ、空間充填曲線。実装が少し間違っていても、円は詰まるし螺旋は回るしフラクタルはフラクタルに見えます。
門と成績
| 主張 | 測った量 | 実測 | 真値の出どころ |
|---|---|---|---|
| デカルトの円定理 | (Σk)² − 2Σk² の相対ずれ |
1e-13 以下(depth 4 の 164 円、接触 4 円の全組) | 定理 |
| 整数充填 | 曲率の整数からのずれ | 0 | Lagarias–Mallows–Wilks |
| ファレイ隣接 | 接触と \|ps − qr\| = 1 の不一致 |
0 組(分母 12 の 47 円・1,081 組) | 整数の等式 |
| フォード円の個数 | \|F_n\| |
一致 | 1 + Σφ(k)(オイラーの関数) |
| 測地ドーム | 次数 5 の頂点 | f = 1,2,3,4,6 すべて 12 個 | V − E + F = 2 |
| 葉序 | 番号差の山がフィボナッチ | 黄金角 7/7、137.0° は 2/7、90° も 2/7 | フィボナッチ数列 |
| IFS の次元 | 相似次元 vs 箱数え | 1.5850(閉形式)/ 1.6164(箱数え) | モランの式 Σrᵢᵈ = 1 |
| 空間充填曲線 | 4ⁿ 点をちょうど 1 回ずつ・隣は距離 1 | 4 種すべて成立 | 置換であること |
| 局所性 | k=32 の平均距離 | ヒルベルト 6.38 / 走査線 16.07 | √32 = 5.66 / 32 |
★ここがこの回の要点です。 測地ドームの次数は別実装の op(conngraph.graph_degree_table)に数えさせています。自分で数え直して自分と一致しても、何も確かめたことになりません。
デカルトの円定理も同じ構えです。生成は反射 k' = 2(k₁+k₂+k₃) − k₄ で行うので、接触を距離から探し直して定理に入れます —— そうすると中心の計算が正しいかまで一度に効きます。
そして整数充填。種 (−1, 2, 2, 3) から始めた充填はどこまで行っても曲率が整数です。実装が少しずれれば整数から外れます —— 絵では絶対に見えない種類の誤りがここで捕まります。
実装で踏む穴
検査そのものの欠陥を 2 件見つけました。
pytest.raises(match="similarit")は op 名ifs_similarity_dimensionに当たって必ず通ります。 しかもプリセット名を間違えていて("fern"、正しくは"barnsley_fern")、「未知プリセットの拒否」を見て合格していました。「拒否した」だけを見て「なぜ拒否したか」を見ないとこうなります。- 型を
pointsで登録して型契約の門に捕まりました。pointsは (N,3) の 3 次元点で、2 次元の点列はpairsです。名前が似ているので取り違えやすい。
そして図が数値検査の盲点を暴きました。 測地ドームの図を三角形 1 枚ずつ焼いていたため、呼び出しごとに自分の外接矩形へ正規化され「各三角形が画面いっぱいに伸びた線の山」になっていました。検査は 20 件とも通っていたので、図を開くまで気づけません。
向かないこと
アポロニウスの充填は depth に対し円が 3 のべきで増えます(depth 10 で 118,100 個)。フォード円は分母の二乗で半径が縮むので、分母 30 を超えると多くが 1 画素を割ります。IFS のカオスゲームは点を打つので、細かい隙間は点数を増やさないと埋まりません(箱数えの次元が閉形式より上に出るのはそのため)。モランの式は相似写像にしか使えません —— アフィンだが相似でないバーンズリーのシダは拒否します。
最初の 1 本
import fullseye as fs
t = fs.ledger.circle_packing_apollonian(curvatures=(-1, 2, 2, 3), depth=4)
print(len(t["x"]), "円 / 曲率は整数のまま:",
abs(t["curvature"] - t["curvature"].round()).max())
pts = fs.ledger.phyllotaxis_pattern(n_points=800)
gaps = fs.ledger.neighbour_index_gaps(pts, k=6)
print("番号差の山:", gaps.argsort()[::-1][:5]) # 黄金角なら 8, 13, 21, ...
この回が作った図は全部で 11 枚あります —— 全部見る
この回の残りの図
以下は同じ実行が作った残り 10 枚です。説明は 1 文目だけに切ってあります —— 詳しい読み方は上の主図が持っています。
↑ 合計は 2·3^depth + 2。
↑ フォードの円(分母 12 まで、47 円)。
↑ 分割 f を 1, 2, 3, 4, 6 と上げても、次数 5 の頂点はちょうど 12 個から動かない(次数 6 だけが増える)。
↑ オイラーの公式 V − E + F = 2 の帰結。
↑ 3 枚とも螺旋に見える。
↑ 黄金角の山は [34, 55, 89, 21, 13, 8, 144] —— すべてフィボナッチ数。
↑ モランの式 Σrᵢᵈ = 1 は写像の縮小率だけから d を出す。
↑ order 5 で 4^5 = 1,024 点をちょうど 1 回ずつ通り、隣り合う点は必ず距離 1。
↑ ヒルベルトは √k の近くを通り(k=32 で 6.38)、走査線はほぼ k に比例する(16.07)。
| *↑ どの行も「使った式」ではない真値で採点している: デカルトの円定理、整数充填、 | ps − qr | = 1、オイラーの関数の和、オイラーの公式(既存 graph_degree_table が数えた)、フィボナッチ、モランの式と既存 fractal_dimension、置換であること。* |
第 4 回: うなりは一つ ―― 干渉縞と印刷のモアレは同じ数学
手順
膜の固有モード / 二重スリット / 回折格子 ┐
├→ どちらも「2 つの周波数ベクトルの差」
網点 2 版の重ね / 彫版線 / ハッチ / モザイク ┘
二重スリットの縞と、2 版を重ねた網点のモアレは教科書では別の章に載っています。でも式は 1 本しかありません。 この回はその 1 本を両側から確かめます。
↑ モードの形は符号つき([-1, 1])。節線の両側で位相が反転するので、image2d を名乗ると腹の位相が消える。
門と成績
| 主張 | 測った量 | 実測 | 真値の出どころ |
|---|---|---|---|
| 矩形膜の固有値 | π²(m²+n²) との最大差 |
0.00e+00 | 閉形式(縮退の重複まで) |
| 節線の本数 | (m,n)=(3,4) の縦 / 横 | 2 / 3 | m−1 / n−1(整数) |
| 円膜の節円 | 半径 | 一致 | J₀ の零点 / k |
| 二重スリット | 縞間隔の実測 / λD/d |
0.998〜1.003(4 設定) | 作る op と別の op が測り返す |
| 回折格子 | 既存 op で逆算した λ | 550.000000 nm | grating_wavelengths との往復 |
| 偶数次が消える | 見えた次数 | −3, −1, 0, 1, 3 | 矩形波のフーリエ係数が偶数調波で 0 |
| 3 次 / 1 次の強度比 | 比 | 0.1140 | sinc(m/2)² → 1/9 |
| モアレの周期 | 実測 / 描く前の予言 | 0.948〜0.986 | 閉形式 1/(2 f sin(Δ/2)) |
| 網点の濃度保存 | 4 周期の窓で平均した差 | 0.0517 | 捨てたのは階調だけ |
| 彫版線 | インク率と w/d の差 |
0.0000(4 段) | 閉形式 |
| ハッチの向き | 縞 30° に対するずれ | 0.3° | 既存 structure_tensor_orientation |
| Lloyd | エネルギー 反復 0 → 16 | 2,782,566 → 1,491,442 | 既存 stipple_energy が測る(単調減少) |
| セル平均 | 平均と最小点が食い違うセル | 0 個(全数走査) | L2 最適 |
気をつけること(2 つとも一度読み違えました)
うなりは低周波側にあります。 FFT の探す範囲を切らずに argmax を取ると、どの角度でも 16.7 px = スクリーンの周期 1/f そのものが返り、「op の予言と全然合わない」と読めます。
ハッチの線は高周波側にあります。 切らずに取ると、線ではなく「どこに墨を置いたか」の濃淡の包絡(元の絵と同じ 24 px)を拾い、向きが 90° ずれて見えます。
どちらも op は正しく、欠陥は測り方にありました。スペクトルには必ず複数の山があり、argmax は「一番強い山」であって「探している山」ではありません。しかも返ってくるのはもっともらしい数なので、例外も NaN も出ずに静かに別の量を答えます。
クラドニ図形についての訂正
よく見る cos·cos − cos·cos の式は、板ではなく膜の解です。実際のクラドニ板は重調和方程式に従う別物で、砂が節線に集まる絵は同じでも周波数比は合いません。ここでは膜と明記し、膜の真値(閉形式の固有値・ベッセル零点)だけで採点しています。
もう 1 つ。円膜の節円は J₀ の零点にあります。J′₀ の零点は腹の位置です —— 取り違えると「op が間違っている」と読み違えます(一度やりました)。
向かないこと
wave_two_slit はフラウンホーファー領域の遠視野で、近接場やフレネル領域は別の op の仕事です。膜のモードは矩形と円の解析解だけで、任意形状は解きません。wave_fringe_period は1 本の支配的な周期を返すので、複数の周期が重なった像では最大の山しか見ません。モアレの予言は同じ形のスクリーン 2 枚の場合で、3 版以上や点形状の違いによる 2 次のうなりは入りません。hatch_field は画素ごとに 1 つの向きしか持てないので、交差や分岐では向きが任意になります —— そこを信じてよいかを言うのは向きではなくコヒーレンスです。
最初の 1 本
import fullseye as fs
# 刷る前にモアレの周期が分かる
p = fs.ledger.halftone_moire_period(lpi_a=60.0, angle_a_deg=45.0,
lpi_b=60.0, angle_b_deg=75.0, pixel_um=25.4)
print("モアレの周期 %.2f px / 向き %.1f 度" % (p["period_px"][0], p["angle_deg"][0]))
# 縞間隔は、作った op とは別の op が測り返す
img = fs.wave_two_slit(wavelength_nm=550.0, slit_sep_um=200.0,
distance_mm=200.0, shape=(64, 1024), pixel_um=5.0)
print("実測 %.2f px / lambda*D/d = %.2f px"
% (fs.wave_fringe_period(img), 0.55 * 200e3 / (200.0 * 5.0)))
この回が作った図は全部で 13 枚あります —— 全部見る
この回の残りの図
以下は同じ実行が作った残り 12 枚です。説明は 1 文目だけに切ってあります —— 詳しい読み方は上の主図が持っています。
↑ (m, n) モードの節線は縦 m−1 本・横 n−1 本。
↑ 縞間隔は λD/d。
↑ 重なっていることが主張。
↑ ★デューティ 50 % の矩形格子は偶数次が消える(矩形波のフーリエ係数が偶数調波で 0)。
↑ 新聞の 15° / 45° / 75° は差が 30° で、うなりが最も細かくなる組み合わせ。
↑ ★FFT の探す範囲を切らないとスクリーン自身の山(どの角度でも 16.7 px = 1/f)を拾って「予言と全然合わない」と読める。
↑ 平均絶対差 0.0517。
↑ 被覆率は線幅 / 間隔 = w/d。
↑ 向きは既存 structure_tensor_orientation が決める(この族は構造テンソルを再実装しない)。
↑ Lloyd 反復でセルが等エネルギーに近づく。
↑ 下がり続けることが主張。
↑ どの行も「使った式」ではない真値で採点している: 膜の閉形式とベッセルの零点、λD/d を測り返す別の op、既存 grating_wavelengths との往復、描く前のモアレ予言、w/d の閉形式、既存 structure_tensor_orientation、既存 stipple_energy。
第 5 回: 絵では確かめられないもの ―― 力学系と極小曲面
手順
名前で呼んだベクトル場 → 積む → 断面・指数・分岐・次元
極小曲面の厳密なパラメータ表示 → メッシュ → 平均曲率を別の op に測らせる
ローレンツ・アトラクタの図は、積分器が 1 次でも 4 次でも蝶に見えます。 極小曲面の図は、平均曲率が 0 でなくてもきれいな曲面に見えます。この回は「見て分かる」が一切効きません。
門と成績
| 主張 | 測った量 | 実測 | 真値の出どころ |
|---|---|---|---|
| RK4 の次数 | 刻み半分での誤差の比 | 16.0 / 16.0 / 16.0 | expm(At)x₀ が厳密解 |
| オイラーの次数(対照群) | 同じ比 | 2.08 / 2.04 / 2.02 | 1 次 |
| 同じ刻みでの誤差 | dt = 0.01 | 2.02e-02 対 3.33e-10 | 桁が違う |
| トレース恒等式 | Σλ − (−(σ+1+β)) |
2.57e-06 | 厳密(出し方と独立) |
| 最大リアプノフ指数 | λ₁ | 0.9142 | 公表値 0.906 |
| 保存系(対照群) | 調和振動子の Σλ |
4.87e-15 | 0 |
| 1 本目の分岐点 | r | 2.999401 | 3(厳密) |
| 2 本目の分岐点 | r | 3.449260 | 1+√6 = 3.449490 |
| ファイゲンバウム δ | (r₂−r₁)/(r₃−r₂) |
4.7485 | 4.6692 |
| 場の発散 | 既存 piv_divergence vs tr(A) |
4 通りすべて 1e-6 未満 | 線形系で厳密 |
| 場の渦度 | 既存 piv_vorticity vs A₁₀−A₀₁ |
一致 | 線形系で厳密 |
| 管メッシュ | 体積 / 2π²Rr² |
0.99667 | トーラスの解析解 |
| 管メッシュ | 面積 / 4π²Rr |
0.99928 | 同 |
| 極小曲面 | \|H\| 中央値(4 種) |
0.00002〜0.00014 | 0(定義そのもの) |
| 対照群 | 単位球 / 円柱の \|H\| |
1.00004 / 0.50000 | 1.0 / 0.5(極小ではない) |
| 等長な曲げ | 面積の振れ幅 | 17.6738〜17.6756 | 変わらない |
| ジャイロイド | 体積比(48³/64³/96³) | 0.499928 / 0.499981 / 0.499991 | 0.5(体心反転の対称性) |
★採点者が別の族から来ます。 ode_vector_field_grid は flow2d を返すので、PIV(粒子画像流速計)族の既存 op —— piv_divergence / piv_vorticity —— がそのまま食います。あちらはこの族の実装を何も知らないので、「場が正しい」という主張の独立した採点者になります。線形系では発散が厳密に tr(A)、渦度が A₁₀ − A₀₁ です。
極小曲面は定義そのものが門になります。 「平均曲率 H が至るところ 0」という定義を、既存 vertex_curvature がそのまま測ります —— つまり「これは極小曲面だ」という主張を、作り方を知らない op が採点します。 対照群の単位球が 1.00004、半径 1 の円柱が 0.50000 に出るので、門が素通しでないことも同時に分かります。
残差を隠さない
2 か所とも、理由を書く前に正体を実測で特定しました。
(1) 分岐点は必ず少し手前に見えます。 分岐点での収束は幾何的でなく代数的なので、有限の burn-in では届きません(δ も 4.7485 対 4.6692 と 1.7 % 偏る)。だから門は「誤差が小さい」ではなく 「burn-in を伸ばすと置いていった分だけ縮む」 で置きました —— 2,000 → 20,000 で誤差が 10.9 倍縮みます。残差の正体が写像でなく測り方であることの証拠は、そちらです。
(2) 相関次元の偏りは「点数不足」ではありませんでした。 円 1.0061・カントール 0.6408(真値 log2/log3 = 0.6309)は合うのに、平面は 1.8789(真値 2)。最初に疑った点数は外れでした —— 400 → 1,500 → 3,000 点で 1.8825 / 1.8789 / 1.8709 と、むしろ下がります。
正体はべき乗則を見る半径の窓です。既定は対距離の 1〜25 パーセンタイルで、有界な集合ではその上端が境界に当たり、相関和が飽和して傾きが寝ます。窓を小さい r 側に寄せると 1.887 → 1.947 → 2.050 と真値に寄ります。
「有限標本だから」「数値誤差だから」は何にでも当てはまるので、書いた瞬間に調べるのをやめてしまいます。 当てはまる説明と正しい説明は別物で、正しい説明だけが「どのノブを回せば直るか」を教えます。この件では
r_lo/r_hiであってmax_pointsではありませんでした。
ジャイロイドも同じ構えです。level = 0 で場は体心反転に対し奇なので体積比は対称性からちょうど 1/2(格子に依らない)。ですが Schoen のジャイロイドは H = 0 で、節面近似には残差が残ります(|H| / 主曲率スケール = 0.1250)。足場と絵として使うもので、極小性の主張ではありません。
実装で踏む穴
引数で戻り値の型が変わる関数は、型付きの台帳に載せられません。 gyroid_isosurface(..., thickness=...) は thickness を渡すと voxel、渡さないと mesh を返す設計でしたが、宣言できる出力型は 1 つなのでどちらを書いても嘘になります。2 つの op に分けました。
分けた副作用が利得になりました —— 固体形が scikit-image の依存から外れ、numpy だけの環境でも使えるようになったのです。
もう 1 つ。ode_vector_field_grid を最初 (H, W, 2) で返していて型検査に捕まりました。そちらのほうが自然に読めますが、flow2d は既存の型で既存の述語と既存の消費側があるので、転置を返すのは型の嘘です。読みやすさより既存の語彙に合わせた結果、下流の既存 op がそのまま繋がりました。
向かないこと
系は族名か係数配列で受け、callable は取りません —— 型付き台帳は入力を型で登録するので、関数は載らないのです。任意の常微分方程式を渡す口ではありません。リアプノフ指数は接流の解ける系だけで、遅延埋め込みからの推定は入りません。分岐図は 1 次元写像だけです。相関次元は答えが要るときは半径の窓を明示してください(上のとおり既定の窓は有界集合で低く出ます)。極小曲面は閉形式の 4 族 + ジャイロイドで、任意の境界に張るプラトー問題は解きません。管メッシュは自己交差を検出しません(曲率半径より太い管は自分を貫きます)。
最初の 1 本
import numpy as np
import fullseye as fs
# 積分器の次数を実証する(厳密解は expm(At)x0)
A, x0, T = np.array([0.0, 1.0, -1.0, 0.0]), np.array([1.0, 0.0]), 4.0
exact = np.array([np.cos(T), -np.sin(T)])
for dt in (0.04, 0.02, 0.01):
st = fs.ode_flow_states("linear", A, x0, T, dt, "rk4")
end = np.array([st["x0"][-1], st["x1"][-1]])
print("dt = %.3f 誤差 %.3e" % (dt, np.linalg.norm(end - exact))) # 半分で 1/16
# 「これは極小曲面だ」を、作り方を知らない op が採点する
V, F = fs.ledger.minimal_surface("catenoid", nu=90, nv=140, extent=1.2)
H = np.abs(np.asarray(fs.ledger.vertex_curvature((V, F))))
print("|H| 中央値 %.5f(対照群の単位球は 1.0)" % np.median(H[np.isfinite(H)]))
この回が作った図は全部で 11 枚あります —— 全部見る
この回の残りの図
以下は同じ実行が作った残り 10 枚です。説明は 1 文目だけに切ってあります —— 詳しい読み方は上の主図が持っています。
↑ 厳密解は expm(At)x₀ なので、誤差は積分器の次数をそのまま出す。
↑ ローレンツ・アトラクタの xz 断面。
↑ Σλ = -13.66666、閉形式 −(σ+1+β) = -13.66667(差 2.6e-06)。
↑ 円 1・平面 2・カントール log2/log3 = 0.6309。
↑ ode_vector_field_grid は flow2d((2, H, W) の (dy, dx))を返すので、piv_divergence / piv_vorticity / piv_flow_magnitude がそのまま使える。
↑ 同じ op で両方を測っている。
↑ ローレンツの軌道を管メッシュに(数値計算ソフトの tubeplot 相当、12510 頂点 / 25000 面)。
↑ 「これは極小曲面だ」という主張を、作り方を知らない op が採点する。
↑ level = 0 で場は体心反転に対し奇なので、両側の体積はちょうど半分ずつ(実測 0.499928 / 0.499981 / 0.499991、格子に依らない)。
↑ どの行も絵からは読めない: expm との誤差の比、トレース恒等式、厳密な分岐点、既知の 3 つの次元、PIV 族の既存 op が測った tr(A)、トーラスの解析解、既存 vertex_curvature が測った H —— そして節面近似の残差は隠さずここに出してある。
第 6 回: 目が嘘をつく絵を作って、測る側を採点する
手順
錯視図を作る → その図が「否定している不変量」を数で返す → 既存の op に測らせる
無限に描き続ける系を回す → 絵ではなく恒等式で採点する
時間依存の量をすべて θ の関数にする → 継ぎ目が最初から存在しない動画になる
ここまでの 5 回は「描いた絵を、絵の外から採点する」話でした。第 6 回は向きが変わります —— 採点される側の絵を、こちらから作ります。
錯視を置くつもりでした。カフェウォールの目地は厳密な水平線で、ミュラー・リヤーの 2 本は厳密に等長で、チェッカーシャドウの 2 マスは浮動小数として同じ値 —— それを op に測らせれば「測る側は騙されない」と言える、と考えたからです。
錯視の章は落としました —— 測っても何も言えなかったから
言えませんでした。 検査が 7 件とも自分で置いた定数を読み返すだけだったからです。厳密に水平に引いた目地が水平だ(傾き 0.0e+00)、平坦に塗ったマスが平坦だ(ptp 0.0e+00)、同値に置いた 2 パッチが同値だ。間に変換が 1 つもありません。 錯視は人間の知覚の性質なので、測る側が騙される理由がそもそも無く、「測る側は騙されない」は発見ではなく同義反復です。絵の側も直線と矩形を引いているだけで、この箱の力を何も示していません。
残したのは 1 件だけ、測る側の偏りです。
↑ 2 本の軸は矢羽根を外すと画素単位で同一(差 0)。ところが「行の黒い区間」を素朴に測ると 223 画素と 225 画素になります。しかも矢羽根が無くても 223 画素(真値 220)—— 反エイリアスの裾を「黒い画素」として数えているからで、これは錯視より前の素の欠陥です。
↑ ★ここでも外しました。「矢羽根が長いほど偏る」と読みましたが、20 px で 2 画素に達したあと 80 px まで動きません。偏りを作るのは長さではなく、端に裾が乗るかどうかだけでした。
止めるまで描き続けるものを、どう採点するか
8 ビットの一行プログラムから続く系譜 —— 10 PRINT のランダム迷路、基本セルオートマトン、ラングトンの蟻、カオスゲーム。これらは「いつ止めても途中」なので、絵では採点できません。
そこで、絵とは独立に成り立つ主張を持つものだけを入れました。
↑ 規則 90 を中央 1 点から 200 行。第 n 行の第 k セルは二項係数 C(n,k) の偶奇に厳密に一致します —— パスカルの三角形を 2 で割った余り。絵を一切見ずに採点できる、という意味でこの族の代表例です。
↑ 始まりはどれも中央の 1 セルだけ。変えたのは 8 ビットの規則番号 1 つです。規則 30 は乱数生成に使われた歴史があり、規則 110 は万能計算ができることが証明されています。
↑ 規則は 2 つだけ(白なら右折して黒く塗る、黒なら左折して白く塗る)。最初の 1 万歩ほどは対称な模様、次に無秩序、そして突然「高速道路」に入り、以後は周期 104 で斜めに進み続けます。
↑ 黒マスの数を歩数に対して。前半は揺れますが、高速道路に入ると 12/104 = 0.1154 マス/歩の直線になります。絵を見なくても、傾きで「入った」が分かります。
↑ 隙間に接する円を入れ続けるので終わりがありません。互いに接する 4 円の曲率はデカルトの円定理 (Σk)² = 2Σk² を厳密に満たします(残差 1.2e-16)—— 円の位置まで複素数の曲率中心で解けるので、当てはめではなく代数で描いています。 ★塗りの明るさは曲率(= 1/半径)—— 定理が試している量をそのまま色にしてあるので、絵の濃淡が主張と同じものを指しています。
↑ 賽を振って頂点へ半分ずつ寄るだけで、シェルピンスキーの三角形が出ます。明るさは点の密度(双一次で積み、asinh で暗部を伸ばしてあります)。描き方は飾りではありません —— 同じ点列でも、切り捨てて積んだ絵から測った箱数え次元は真値 log3/log2 から −0.032 ずれるのに、こう描くと −0.0030 で 10 倍正確になります。
↑ バーンズリーのシダ —— 4 本のアフィン写像を確率で選んで回すだけ。明るさは密度で、正規化は最大値でなく分位点で行っています(根元の 1 点が飛び抜けるので、最大値で割ると他が全部潰れます)。
| *↑ 場はポテンシャル ψ の回転として作ってあるので、発散が恒等的に 0(非圧縮、残差 7.0e-17)。流線が渦のまわりで閉じているのがその絵です —— 「それらしい雑音」で作った流れ場では、ここが湧き出しと吸い込みになります。 ★線の色と太さは流速 | ∇ψ | —— 太さも濃さも一定だと、同じ場から描いても落書きにしかなりません。* |
↑ グレイ–スコット反応拡散。種は散らして 12 個置いてあります ——中央に 1 個だけだと、同じ歩数でも模様の被覆が 0.086 にしかならず、画面の大半が余白になります(散らすと 0.379)。★格子状に並べると格子そのものが絵に出るので、ずらして置きます。
↑ 左は 10 PRINT CHR$(205.5+RND(1)); : GOTO 10 —— Commodore 64 の一行プログラム。右はトルシェ・タイルで、弧の端点が必ず辺の中点に来るので、どう組んでも曲線が途切れません。
時間軸で循環する画像
↑ 最後のコマから最初のコマへ戻るところに、切れ目がありません。
作り方が要点です。「最後に頭へ戻す」のではなく、時間依存の量をすべて θ の関数にして θ を 0→2π 回すと、t = T は t = 0 と同じ式になります —— 継ぎ目は編集で消すものではなく、最初から存在しません。
↑ 継ぎ目の正解は 0 ではなく 1 です。 比 =(最後のまたぎの差)÷(ふつうのコマ間の差)。1 なら「最後のまたぎが、ほかのまたぎと見分けが付かない」。0 だと継ぎ目が無いのではなく、動きが止まっているという意味になります —— ここを取り違えると「完璧な結果」に見えます。
門と成績
| 主張 | 測った量 | 実測 | 真値の出どころ |
|---|---|---|---|
| カフェウォール | 目地 8 本の傾き | 0.0e+00 | 目地は水平線(構成) |
| ミュラー・リヤー | 軸だけの図の 2 行 | 画素単位で同一 | 等長(構成) |
| 同(素朴な計測) | 矢羽根つきで行の黒い区間 | 223 vs 225 | 真値 220 ―― 測り方の欠陥 |
| チェッカーシャドウ | 2 マスの画素値の差 | 0.0e+00 | 影の係数 = 暗/明(厳密) |
| カニッツァ | 錯覚輪郭上の ptp | 0.0e+00 | 辺は描かれていない |
| 同時対比 | 2 パッチの差 | 0.0e+00 | 同値(構成) |
| 規則 90 | 第 n 行 vs C(n,k) mod 2 |
0.0e+00 | リュカの定理 |
| ラングトンの蟻 | 104 歩ごとの変位 | 0.0e+00 | 周期 104・斜め (2,2) |
| 同 | 高速道路の正味増加 | ちょうど 12 マス | 整数(実測で確定) |
| アポロニウス | (Σk)² − 2Σk² |
1.19e-16 | デカルトの円定理 |
| 同 | 生成した全円と親 3 円の接触 | 9.20e-07 | 接する(再帰で誤差が積もる) |
| 流れ場 | div(curl ψ) |
6.95e-17 | 恒等的に 0 |
| 反応拡散 | 餌も死も 0 のときの総量 | 1.98e-16 | 保存(拡散は再分配) |
| プラズマ | 4 隅の値 | 0.0e+00 | 中点変位は既存値を触らない |
| 循環動画 | 継ぎ目の比(4 種) | 0.997〜1.041 | 1(0 ではない) |
検査が見つけたもの
4 件出ました。どれも絵を見ても気づけない型です。
- 二項係数を
int64で積んでいて、C(62,31)×31で黙って溢れた。 リュカの定理の帰結「C(n,k)が奇 ⟺(n & k) == k」に置き換えて、桁あふれの余地を消しました。 - チェッカーシャドウで対にするマスを間違えていた。 同じ明暗のマスを 2 つ選んでいて、差が 0.31 出ました。対にすべきは「影の外の暗マス」と「影の中の明マス」。絵は”それらしく”見えるので、数で測るまで気づけません。
- 「104 歩で 52 マス」と見当で書いた成長率が、実測 0.114/歩 と合わなかった。 測り直すと正味ちょうど 12 マス(整数)。周期の中で塗っては消すので、正味はずっと少ない。推測でなく実測が正しかったという、それだけの話です。
- ★アポロニウスで平方根の枝を選び損ねていた。 複素曲率中心には枝が 2 つあり、片方は「親 3 円に接しない円」を返します。主値だけを使っていたため、外円の外へ逃げる円の鎖が出ていました —— しかも絵としては「フラクタルっぽい」ので、画像を開いて見るまで分かりません。接することを数で確かめて枝を選ぶようにし、「外へ逃げた円が無い」を門にしました。
そのほかに、定数の配列でも std() は厳密に 0 にならない(平均を引く途中で 1 ulp 残る、実測 5.6e-17)という小さな発見がありました。「全部同じ値」を厳密に言いたいときは ptp(最大 − 最小)を使います。
速度も 1 件。素朴に全画面の距離場を primitive ごとに作っていたので、錯視 12 枚で 17.7 秒、アポロニウス 1 枚で 4.96 秒かかっていました。外接箱だけを触る方式にして 0.07 秒 / 0.03 秒(250 倍・165 倍)。PoC の所要時間は CI の合否そのものなので、これは配管ではなく門の問題です。
向かないこと
作品としての完成度には向きません。この族には主張が検算できる図しか入れていないので、美しいが検算できない図は、描けても入れていません。逆に言えば、ここにある絵は全部「なぜそれで正しいと言えるのか」に答えられます。
また、錯視の強さは測っていません(「どれくらい傾いて見えるか」は心理物理の話で、この族の守備範囲の外です)。測っているのは「傾いていないこと」だけです。
この回が作った図は全部で 16 枚あります —— 全部見る
この回の残りの図
以下は同じ実行が作った残り 1 枚です。説明は 1 文目だけに切ってあります —— 詳しい読み方は上の主図が持っています。
↑ この PoC の主張は全部この表に入っています。
第 7 回: 測定器のほうを健診する ―― キャリパーが外すのはどこで、なぜか
手順
答えの分かっている絵(錯視)を作る → 産業用のサブピクセル測定器に測らせる
→ 真値と突き合わせる → 外れたら「なぜ外れたか」を突き止め、直せるか試す
→ 直らなかったものは、直らなかったと書く
第 6 回で「真値の付いた絵」が作れるようになりました。第 7 回はその絵の使い道です ―― 測られる側ではなく、測る側を採点します。
Fullseye には HALCON 流のサブピクセル測定器が入っています(measure_pos / measure_pairs / fuzzy_measure_pairing / apply_metrology_model)。工場で寸法を測るための道具です。この道具に、目が確実に外すと分かっている図を測らせるとどうなるか。
★この回で新しい op は 1 つも作っていません。作る側と測る側が同じ箱に入っているので、答え合わせが 1 本のスクリプトで閉じます。
まず、測定器は目より正しい
↑ 青が与えた参照線、橙が測定器が法線方向に探して見つけたエッジ点 41 個。タイルは傾いて見えたままなのに、点は一直線に乗り(rms = 0.0)、当て直した直線の角度は厳密に 0.0 度。
↑ 左の円は小さく、右の円は大きく見えます。円の計測オブジェクトが返した半径は 29.996525 px と 29.996525 px ―― 差は 2.5e-12 px。目が主張する差は、画像の側には存在しません。
↑ 縦軸を 0.2 px 幅まで拡大しても 2 点は重なったまま。どちらも指定の 30 px より 0.0035 px 小さいのですが、そのずれは両方に同じだけ乗るので、差を取ると消えます。
ところが、探針 1 枚では足りなかった
ここが、この回でいちばん学びになったところです。
最初、カフェウォールを 1 通りの設定(ずらし量 0.25)だけで測って、「測定器は錯視では決して動かない」と書きました。きれいな結論です。
そのあと、ずらし量 5 通り × 探索半幅 4 通りの 20 通り全部を測りました。
↑ 探索半幅が目地の帯幅 8 px に届く 10 px と 16 px のとき、ずらし量 0.125 と 0.375 でだけ 0.1429 度傾きます。0.25 は、たまたま外れない側でした。
↑ 何が起きているか。全体図では 8 px の飛びが潰れて見えないので、目地の周り 34 行だけを等倍で切り出しました。下の段では、点が帯の反対側にも乗っています ―― 探索範囲が向こう側の境界に届いているのです。
既定に見える 1 点だけで試すと、この欠陥は構造的に見つかりません。
外したことは、答えではなく残差に出る
そして、ここがいちばん実務に効くところです。
↑ 同じ 20 通りについて、答え(角度)と残差(rms)を重ねたもの。
外れたときの角度は 0.1429 度です。数字だけ見れば「ほぼ 0」で、そのまま通ってしまいます。ところが残差は 0.00 から 1.70 へ桁で動きます。しかも「角度 0 ⇔ rms 0」が 20 通り全部で一致しました。
門は答えではなく残差に置く。「当てた形が本当にそこにあったか」は、答えの側からは見えません。
測定器も外す。ただし目とは別の理由で
↑ 上(矢羽根なし)は測定線上のエッジが 2 本、下(矢羽根あり)は 4 本。
矢羽根は「長く見せる」だけではありません。測定線の上に余計なエッジを置きます。測定器は隣り合う逆極性のエッジを対にするので、軸ではなく矢羽根のストロークを測ってしまいます(幅 5.701 px)。
目は「長く見える」と外し、測定器は「別の物を測る」と外す ―― 外れ方が違います。
↑ 同じ 1 本の軸が、測り方で 4 通りの答えになります。どれもバグではありません。
測り方を宣言すると、静かな誤りが見える拒否に変わる
↑ fuzzy_measure_pairing に「幅は 220 px のはず」と宣言して測らせたもの。矢羽根なしでは適合度 0.9988、矢羽根ありでは 0.0225。
これは「間違った値を返した」のではありません。「想定した幅の構造は見つからない」と数で申告している状態です。隣り合う逆極性の対しか候補にしないので、軸をまたぐ対はそもそも提案されません。
測り方を宣言した分だけ、失敗が静かな誤りから見える拒否に変わります。
3.777 px は錯視ではなく、端の定義だった
矢羽根が無い図でも、答えは 223.777 px で真値 220 と合いません。錯視のせいでしょうか。
↑ 軸の長さを 140〜300 px に振ると、ずれは +3.777 px 一定(振れ幅 0.0000 px)。
比例していれば倍率の誤り、一定なら端の定義のずれです。軸は太さを持って描かれているので、「外側エッジ間の距離」は「線分の長さ」より線幅ぶん長い。引けば真値に戻ります。
動くのは答えではなく、証拠の数のほうだった
| *↑ 収束して見える 7 本すべてが、測ると水平(最大 | 傾き | 4.3e-04 度 = 幅 520 px を渡って 0.0039 px)。* |
↑ 傾きは 7 本とも 0 に重なって見分けが付きません。動いたのは採用されたエッジ点の数で、ハッチの向きが 1 本おきに反転するため 61 点中 13 と 19 を交互に取ります。
「測れた」と「よく測れた」は別の量です。前者だけ見ていると、この差は見えません。
直らなかったものは、直らなかったと書く
↑ 帯の左右の 2 本は厳密に 1 本の直線です(帯で隠れているだけ)。橙が素朴なキャリパーの点、青が両エッジを対にして中心を取り直した線。
ここでは測定器が外します。共線のはずの 2 区間で、角度が 0.450 度違いました。
原因は突き止められました。極性が塊で交互しているのです(41 点が 9 個の塊、+18 / −23)。細い線には上側と下側の 2 つのエッジがあり、「線の位置」はどちらか(あるいは中心か)を言うまで定義されません。測定器はその 2 つを行き来していました。
↑ 両エッジを対にして中心を取ると、角度差は 0.450 → 0.115 度、残差は 2.07 → 0.10/0.39 まで下がります。それでも 0 ではありません。帯の縁の細い縦線と画像の端が測定線に掛かっており、そこまでは追い込んでいない ―― というのが正直な状態です。
絵を作り直したら、測れる真値が変わった
濃淡と色を付け直しただけで、絵から測った数が真値に近づきました。同じ点列・ 同じ op・同じしきい値で、箱数え次元のずれが −0.032 → −0.0030(10 倍)。
原因は積み方でした。前の実装は .astype(np.int64) で切り捨てて整数画素に
積んでいた —— 四捨五入ですらないので、絵全体がちょうど半画素ずれます
(実測の重心差 −0.5009 / −0.4998 画素)。総量は 39.9 万点で相対差
0.00e+00 と合うので、0 次だけ見る検査はこの欠陥に構造的に盲目です。
双一次で積むと重心差は 0.000e+00 —— 1 次元で i(1−f) + (i+1)f = i + f に
戻るからで、2 次元は軸ごとに分かれるので両方とも厳密です。
トーンは asinh にしました。狭義単調なので画素の大小は 1 組も入れ替わりません (4,998 組で検査)。ただし正規化を最大値でやると、バーンズリーのシダは根元の 1 点が飛び抜けるので他が全部潰れて真っ暗になりました。分位点に替えて std 0.052 → 0.0996。反応拡散は種が中央に 1 個だけで、模様の被覆が 0.086 しかありませんでした —— 散らして 12 個置くと同じ計算量で 0.379。 ★格子状に並べると格子そのものが絵に出るので、ずらして置きます。
★外したこと: アポロニウスの色が大きい円で潰れていたので「順位で 正規化すれば階調が配り直される」と読みました。逆効果でした —— 極小円が多数派なので、大きい円が全部下端に潰れて前より悪くなりました。 対数に戻してガンマ 0.45 で低域を持ち上げるのが正解でした。 「分布を均す」は、見せたい対象が少数派のときは逆に働きます。
正反対の主張の図が、同じ絵だった
超立方体を 2 枚の面で同時に回す章で、「比 1 : 2 は 60 コマで閉じる」と 「比 1 : φ は閉じない」の GIF が バイト単位で同一でした。
原因は投影です。図は落とした 3 次元の x, y の 2 成分だけを描いていました。
rot4(0, t1, 1, t2) の t2 は zw 面の回転なので、x と y に一切効きません
—— 60 コマ通して x,y の差は厳密に 0.000e+00、x,y,z なら 2.494。
章の主題が、その投影では原理的に見えなかったわけです。3 次元を一般の向きから
見る 2×3 の正射影(正規直交性 1.11e-16)に替えて差 1.322 になりました。
★この嘘が通ったのは、「2 枚の図が同じ中身か」を見る門がどこにも無かった から。枚数も名前も説明も存在も検査していたのに、そこだけ穴でした。書いた図の sha256 を記録して、同一バイト列が 2 枚出たら欠陥にする門を入れました。 全 151 本を走査して該当は 2 組だけ(もう 1 組は図の枚数が変わって位置番号が ずれた置き去りファイル)でした。
錯視の章は、測っても何も言えなかった
第 6 回で落とした話です —— 詳しくはその節に書き直してあります。要点だけ: 検査 7 件が自分で置いた定数を読み返すだけで、間に変換が 1 つもありませんでした。残したのは測る側の偏り 1 件だけです。
作った図は 1,155 枚、記事に出ていたのは 317 枚だった
数え直して分かりました。展示館が参照していたのは 27 % で、848 枚が 記事から辿れない状態でした。1 展示あたり 2.1 枚(150 件のうち 139 件が ちょうど 2 枚)で、PoC は中央値 6 枚・最大 25 枚作っているのに、 残りへの道が記事に無かった。
出す枚数を増やして 318 → 767 枚にし、それでも出ない分のために、 展示ごとに「この回が作った図は全部で N 枚 —— 全部見る」を置きました (案内 1,155 / 1,155 枚)。追加分の説明は最初の 1 文に切ってあります —— 枚数を増やすのが目的で、詳しい説明は主図と 2 枚目が持っているからです。
健診結果
↑ この表に「絵を見て判断した」行は 1 つもありません。真値は生成器が保証し、答えは既存の測定 op が返したものです。
真値をそのまま回復したのは 3 行、外れたのは 5 行。外れた内訳は 3 通りでした ―― 決めれば戻るもの(探索半幅・線幅の下駄)、拒否に変えられるもの(想定幅の宣言)、そして 戻らなかったもの(ポッゲンドルフ)。
検査が見つけたもの
この回で自分の書いたものが 2 か所、データと食い違っていました。どちらも「生成された図説を読み返して」見つけたものです。
- カフェウォールの掃引の図説に「半幅を変えると採用点の数が変わる」と書きましたが、4 通りとも 41 点でした。証拠の数が実際に動くのはツェルナーのほうです。
- 健診表の図説に「外した行は 2 行・決めれば戻る」と書きましたが、実際は 5 行で、ポッゲンドルフは戻っていません。
図説は、書いた時点ではなく、生成されたものを読んで確かめる。 数字を % で埋め込んで自動生成していても、その周りの文章は手で書いているので、同じようにずれます。
向かないこと
この PoC は「測定器は錯視に強い/弱い」を言うものではありません。測り方を決めていない分だけ答えが割れることを、真値つきの図で数として見せるものです。工場で使う測定線の張り方(探索半幅・想定幅・エッジの極性)を決めるときの、机上の確認には使えます。実写のノイズ・照明むら・被写界深度は入っていません。
この回が作った図は全部で 16 枚あります —— 全部見る
この回の残りの図
以下は同じ実行が作った残り 1 枚です。説明は 1 文目だけに切ってあります —— 詳しい読み方は上の主図が持っています。
↑ measure_length は「参照線の法線方向に何 px 探すか」。
出典
- 画像: 葛飾北斎「神奈川沖浪裏」(富嶽三十六景、1830–32 年頃)。メトロポリタン美術館 Open Access が
isPublicDomain: true(CC0)で公開している版(object 45434 / 画像 DP130155)を輝度化して縮小。 - 手法: Craig S. Kaplan and Robert Bosch, “TSP Art”, Computational Aesthetics (2005)。
- 点密度の指数: A. Gersho, “Asymptotically optimal block quantization”, IEEE Trans. Inform. Theory 25(4), 1979。
- ニュートン吸引域: A. Cayley, “The Newton–Fourier imaginary problem”, Amer. J. Math. 2, 1879。
- 円の充填: R. Descartes (1643) と F. Soddy, “The kiss precise”, Nature 137, 1936; J. Lagarias, C. Mallows, A. Wilks, “Beyond the Descartes circle theorem”, Amer. Math. Monthly 109, 2002。
- フォード円: L. R. Ford, “Fractions”, Amer. Math. Monthly 45, 1938。
- 葉序: H. Vogel, “A better way to construct the sunflower head”, Math. Biosci. 44, 1979。
- 相似次元: P. A. P. Moran, “Additive functions of intervals and Hausdorff measure”, Proc. Camb. Phil. Soc. 42, 1946。
- 膜の固有値: Lord Rayleigh, The Theory of Sound, 1877(クラドニの砂の図は板であって、ここで解くのは膜)。
- 二重スリット: T. Young, 1804。
- モアレのベクトル解析: B. Oztan, G. Sharma, R. P. Loce, “Misregistration sensitivity in clustered-dot color halftones”, J. Electronic Imaging 17, 2008。
- 点描と量子化: A. Secord, “Weighted Voronoi stippling”, NPAR 2002; S. Lloyd, “Least squares quantization in PCM”, IEEE Trans. Inf. Theory 28, 1982。
- 力学系: E. N. Lorenz, “Deterministic nonperiodic flow”, J. Atmos. Sci. 20, 1963; O. E. Rössler, “An equation for continuous chaos”, Phys. Lett. A 57, 1976; M. J. Feigenbaum, J. Stat. Phys. 19, 1978; P. Grassberger and I. Procaccia, Phys. Rev. Lett. 50, 1983; G. Benettin et al., Meccanica 15, 1980。
- 極小曲面: H. A. Schwarz, Gesammelte Mathematische Abhandlungen, 1890; A. H. Schoen, “Infinite periodic minimal surfaces without self-intersections”, NASA TN D-5541, 1970。
- 管の枠: R. L. Bishop, “There is more than one way to frame a curve”, Amer. Math. Monthly 82, 1975。